《复数的三角表示》复数PPT课件(复数的三角表示式)
第一部分内容:内容标准
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.
2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义.
3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.
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复数的三角表示PPT,第二部分内容:课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点 复数的三角表示式
预习教材,思考问题
(1)如图,角θ的终边上一点P(x,y),设P到原点O的距离|OP|=r,那么怎样用角θ和r表示x,y?
(2)我们知道,复数可以用a+bi(a,b∈R)的形式来表示,复数a+bi与复平面内的点Z(a,b)一一对应,与平面向量OZ→=(a,b)也是一一对应的,如图,你能用向量OZ→的模r和以x轴的非负半轴为始边,以向量OZ→所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗?
知识梳理 (1)复数的辐角:以x轴的非负半轴为始边,____________为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.我们规定在______范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作arg z ,即______ .
(2)复数的三角形式:一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成______的形式.其中,r是复数的______;θ是复数z=a+bi的辐角.______ 叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,______ 叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
(3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件:两个非零复数相等当且仅当它们的______与______分别相等.
[自主检测]
1.复数1+3i化成三角形式,正确的是( )
A.2(cos 2π3+isin 2π3)
B.2(cos π3+isin π3)
C.2(cos 5π3+isin 5π3)
D.2(cos 11π6+isin 11π6)
2.复数z=-sin 100°+icos 100°的辐角主值是( )
A.80° B.100°
C.190° D.260°
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复数的三角表示PPT,第三部分内容:课堂 • 互动探究
探究一 复数的三角形式
[例1] 下列复数是不是三角形式?若不是,把它们表示成三角形式.
(1) z1= cos 60°+isin 30° ;
(2) z2=2(cos π5-isin π5);
(3) z3=-sin θ+icos θ .
(2)由“加号连”知,不是三角形式.复平面上的点Z2(2cos π5,-2sin π5)在第四象限,不需要改变三角函数名称,可用诱导公式“2π-π5”或“-π5”变换到第四象限.
所以z2=2(cos π5-isin π5)=2[cos(-π5)+isin (-π5)]或z2=2(cos π5-isin π5)=2[(cos(2π-π5)+isin (2π-π5)]=2(cos 9π5+isin9π5),考虑到复数辐角的不唯一性,复数的三角形式也不唯一.
(3)由“余弦前”知,不是三角形式.复平面上的点Z3(-sin θ,cos θ)在第二象限(假定θ为锐角),需要改变三角函数名称,可用诱导公式“π2+θ”将θ变换到第二象限.
所以z3= -sin θ+icos θ=cos (π2+θ)+isin (π2+θ) .
方法提升
复数三角形式的判断依据和变形步骤
(1)判断依据:三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
(2)变形步骤:首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.
探究二 复数的代数形式表示成三角形式
[例2] 画出下列复数对应的向量,指出它们的模和辐角的主值,并把这些复数表示成三角形式:
(1)3i;(2)-10;(3)2-2i ;(4) -1+3i.
(2)复数-10对应的向量如图所示,
则模r=10,对应的点在x轴的负半轴上,所以arg(-10)=π.所以-10=10(cos π+isin π).
方法提升
复数的代数形式化三角形式的步骤
(1)先求复数的模;
(2)决定辐角所在的象限;
(3)根据象限求出辐角(常取它的主值);
(4)写出复数的三角形式.
探究三 把复数表示成代数形式
[例3] 分别指出下列复数的模和一个辐角,并把这些复数表示成代数形式:
(1)10(cos π3+isinπ3);
(2)14(cos 5π6+isin5π6);
(3)2(cos 45°-isin 45°).
方法提升
1.类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
2.由三角形式表示成代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可.
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复数的三角表示PPT,第四部分内容:课后 • 素养培优
复数的三角形式
逻辑推理、数学运算
在求复数的三角形式时,需要进行复杂的三角恒等变换,在变换时一定要根据复数三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连,确定判断的依据和变形的方向.只要角的范围在[0,2π]即可.
[素养提升] 1.在表示复数的三角形式时,要严格套用复数三角形式的四个结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
2.注意复数辐角的主值范围[0,2π).
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