《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT下载(向量的加法运算)
第一部分内容:内容标准
1.借助实例和平面向量的几何意义,掌握平面向量加法运算及运算规则.
2.理解平面向量加法运算的几何意义.
3.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
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平面向量的运算PPT,第二部分内容:课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点一 向量的加法及其运算法则
预习教材,思考问题
分析下列实例:
①飞机从广州飞往上海,再从上海飞往北京(如图),这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.
②有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力分别是F1=3 000 N,F2=2 000 N,牵引绳之间的夹角为θ=60°(如图),如果只用一条拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果.
(1)从物理学的角度,上面实例中位移、牵引力说明了什么?体现了向量的什么运算?
(2)上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则?
知识梳理 (1)向量加法的定义:求两个向量 的运算,叫做向量的加法,两个向量的和仍然是一个_____
知识点二 |a+b|与|a|,|b|之间的关系
预习教材,思考问题
根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,你能发现|a+b|与|a|,|b|之间的关系吗?
知识梳理 (1)对于任意向量a,b,都有||a|-|b||≤|a+b|≤_________;
(2)当a,b共线,且同向时,有|a+b|=_________;
(3)当a,b共线,且反向时,有|a+b|=_________(或_________).
知识点三 向量加法的运算律
预习教材,思考问题
实数的加法满足哪些运算律?向量的加法是否也满足这些运算律?
知识梳理 (1)向量加法的交换律:a+b=b+a;
(2)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
[自主检测]
1.在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点.下列结论正确的是( )
A.AB→=CD→,BC→=AD→ B.AD→+OD→=DA→
C.AO→+OD→=AC→+CD→ D.AB→+BC→+CD→=DA→
2.(AB→+MB→)+(BO→+BC→)+OM→化简后等于( )
A.BC→ B.AB→
C.AC→ D.AM→
3.设正六边形ABCDEF,AB→=m,AE→=n,则AD→=________.
4.若向量a,b不共线,且|a|=4,|b|=7,则|a+b|的取值范围是________.
5.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,求:
(1)OA→+OE→;
(2)AO→+AB→;
(3)AE→+AB→.
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平面向量的运算PPT,第三部分内容:课堂 • 互动探究
探究一 向量加法的运算法则
[例1] (1)如图①所示,求作向量和a+b.
(2)如图②所示,求作向量和a+b+c.
方法提升
应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题:
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”.即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半,在多个向量的加法中,利用三角形法则更为简便.如本题(2)法一比法二简单.
探究二 向量加法的运算律
[例2] (1)化简下列各式:
①AB→+BC→+CD→+DA→;
②(AB→+MB→)+BO→+OM→.
(2)如图,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为CD的中点.试求:
①AB→+AE→;②AB→+AC→+EC→;
③CD→+AC→+DB→+EC→.
方法提升
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
探究三 向量加法的实际应用
[例3] 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图,一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;
(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°).
方法提升
向量加法应用的关键及技巧
(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.
(2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.
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平面向量的运算PPT,第四部分内容:课后 • 素养培优
一、“ 形影相随”——平面图形几何性质在向量加法中的应用
直观想象 、逻辑推理
不管向量加法的三角形法则还是平行四边形法则,都离不开平面几何图形及其性质,利用几何图形中线线平行,线段相等可以推出向量共线和相等,由此一些问题便可迎刃而解.
[素养提升] 1.平面中两个向量的位置关系有共线与不共线两种情况,共线又有同向和反向两种情况,证明时各种情况都得考虑.
2.证明不等式时,不能忽视等号成立的条件,否则会造成证明过程不全面而失分.
3.注意积累直观想象和数学抽象素养的经验.
二、“灵活多变”——灵活运用向量加法的运算法则和运算律化简
直观想象 、数学运算、逻辑推理
[典例2] 如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:
(1)BC→+CE→+EA→;
(2)OE→+AB→+EA→;
(3)AB→+FE→+DC→.
[素养提升] 要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
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