《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第5课时简单的三角恒等变换)
第一部分内容:学 习 目 标
1.能用二倍角公式导出半角公式,能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式.体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用.(重点)
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错点)
核 心 素 养
1.通过公式的推导,培养逻辑推理素养.
2.借助三角恒等变换的简单应用,提升数学运算素养.
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三角恒等变换PPT,第二部分内容:自主预习探新知
半角公式
(1)sinα2=± 1-cos α2,
(2)cosα2=± 1+cos α2,
(3)tanα2=± 1-cos α1+cos α,
(4)tanα2=sin α2cosα2=sinα2•2cosα2cosα2•2cosα2=sin α1+cos α,
tanα2=sinα2cosα2=sinα2•2sinα2cosα2•2sinα2=1-cos αsin α.
初试身手
1.已知180°<α<360°,则cosα2的值等于( )
A.-1-cos α2 B.1-cos α2
C.-1+cos α2 D.1+cos α2
2.已知cos α=35,α∈3π2,2π,则sin α2等于( )
A.55 B.-55
C.45 D.255
3.已知2π<θ<4π,且sin θ=-35,cos θ<0,则tanθ2的值等于________.
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三角恒等变换PPT,第三部分内容:合作探究提素养
化简求值问题
【例1】(1)设5π<θ<6π,cosθ2=a,则sinθ4等于( )
A.1+a2 B.1-a2
C.-1+a2 D.-1-a2
(2)已知π<α<3π2,化简:
1+sin α1+cos α-1-cos α+1-sin α1+cos α+1-cos α.
[思路点拨] (1)先确定θ4的范围,再由sin2θ4=1-cosθ22得算式求值.
(2)1+cos θ=2cos2α2,1-cos α=2sin2α2,去根号,确定α2的范围,化简.
规律方法
1.化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
2.利用半角公式求值的思路
(1)看角:看已知角与待求角的2倍关系.
(2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tanα2=sin α1+cos α=1-cos αsin α,涉及半角公式的正、余弦值时,常利用sin2α2=1-cos α2,cos2α2=1+cos α2计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
提醒:已知cos α的值可求α2的正弦、余弦、正切值,要注意确定其符号.
三角恒等式的证明
【例2】求证:cos2α1tanα2-tanα2=14sin 2α.
[思路点拨] 法一:切化弦用二倍角公式由左到右证明;
法二:cos2α不变,直接用二倍角正切公式变形.
规律方法
三角恒等式证明的常用方法
1执因索果法:证明的形式一般化繁为简;
2左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;
3拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;
4比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”;
5分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
三角函数在实际问题中的应用
[探究问题]
1.用三角函数解决实际问题时,通常选什么作为自变量?求定义域时应注意什么?
提示:通常选角作为自变量,求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响.
2.建立三角函数模型后,通常要将函数解析式化为何种形式?
提示:化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式.
规律方法
应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
1方法:解答此类问题,关键是合理引入辅助角,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解.
2注意:在求解过程中,要注意三点:①充分借助平面几何性质,寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.
提醒:在利用三角变换解决实际问题时,常因忽视角的范围而致误.
课堂小结
1.学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
2.研究形如f(x)=asin x+bcos x的函数性质,都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式,也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a、b应熟练掌握.例如sin x±cos x=2sinx±π4;sin x±3cos x=2sinx±π3等.
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三角恒等变换PPT,第四部分内容:当堂达标固双基
1.思考辨析
(1)cos α2=1+cos α2.( )
(2)存在α∈R,使得cos α2=12cos α.( )
(3)对于任意α∈R,sin α2=12sin α都不成立.( )
(4)若α是第一象限角,则tan α2=1-cos α1+cos α.( )
2.若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.π4 B.π2
C.3π4 D.π
3.函数f(x)=sin2x的最小正周期为________.
4.北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,求cos 2θ.
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