《不同函数增长的差异》指数函数与对数函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.通过作图,借助计算器体会并了解指数函数、对数函数的增长特性.培养数据分析、直观想象的能力.
2.掌握指数函数y=ax(a>1)与y=kx(k>0)的函数增长差异和y=logax(a>1)与y=kx的函数增长差异,并能解决相关问题.
3.能正确地选用函数模型解决实际问题.
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不同函数增长的差异PPT，第二部分内容：自主预习
一、指数函数与一次函数、二次函数增长的差异比较
1.(1)阅读下面材料并回答问题
1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只,可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气.
想想看,澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只?
答案:由于兔子在适宜环境下,其繁育的数量呈指数增长趋势,指数增长又称为“爆炸性增长”,因此发展十分迅猛.
(2)你能借助图象得出在x∈R时,2x=x,2x=x2的根的个数吗?在(0,+∞)上存在满足2x<x的x吗?在(0,+∞)上满足2x>x2的x的范围是什么?
答案:2x=x无根,2x=x2的根有3个(2正1负);
在(0,+∞)上,存在这样的数x0满足2^(x_0 )<x0.
在(0,+∞)上,当0<x<2或x>4时均有2x>x2成立.
2.填空
(1)一般地,指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似.即使k的值远远大于a的值,y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度,即总存在这样的x0∈(0,+∞),当x>x0时,恒有
(2)对于y=ax(a>1)与二次函数y=x2也有这样的结论,即存在x0∈(0,+∞),使当x>x0时总有
3.做一做
(1)下列函数中,增长速度最快的是( )
A.y=2x
B.y=3x
C.y=5x
D.y=10x
(2)在x∈(0,+∞)时,满足2x<x2的x的取值范围为 .
解析:(1)四个选项中的函数都是指数函数,且底数均大于1,D项中底数10最大,则函数y=10x的增长速度最快.
答案:(1)D (2)2<x<4
二、对数函数与一次函数、二次函数增长的差异比较
1.log2x=x有根吗?log2x=x2呢?在(0,+∞)内存在x使log2x>x吗?对于log2x>x2结论又如何?
答案:结合图象(略)分析可知,
log2x=x只有一个根,log2x=x2也只有一个根.
存在这样的x0∈(0,+∞)使log2x0>x0,同样也存在这样的x0∈(0,+∞)使log2x0>x_0^2 成立,但最终随着x取值足够大,log2x<x2,log2x<x恒成立.
2.填空
(1)一般地,虽然对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着x的增大,一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.不论a的值比k的值大多少,在一定范围内,logax可能会大于kx,但由于logax的增长慢于kx的增长,因此总会存在一个x0,当x>x0时,恒有logax<kx.
(2)对于y=logax(a>1)与y=x2也存在类似结论,即总会存在一个x0,当x>x0时,恒有logax<x2.
3.做一做
(1)下列函数增长速度最快的是( )
A.y=log2x
B.y=log6x
C.y=log8x
D.y=lg x
(2)方程x2-log2x=0的解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.0
解析:(1)四个选项中的对数函数在区间(0,+∞)上均是增函数,选项A中y=log2x的底数2最小,则函数y=log2x的增长速度最快.
答案:(1)A (2)D
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不同函数增长的差异PPT，第三部分内容：探究学习
研究函数y=2x,y=x2,y=log2x的增长差异
例1在同一坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象并探究它们的增长情况.
分析:先比较y=2x和y=x2,再比较y=log2x和y=x2,最后综合判断得出整体规律.
解:在同一直角坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x
的图象,如图所示,观察归纳可知,
当0<x<2时,2x>x2>log2x.
当2<x<4时,x2>2x>log2x.
当x>4时,2x>x2>log2x.
反思感悟 在(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=x2都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x2(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢,总会存在一个x0,当x>x0时,有logax<x2<ax.
变式训练1四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.假设他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ( )
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
解析:当x足够大时,跑在最前面的人具有的函数关系为指数型函数.
答案:D
变式训练1四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.假设他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ( )
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
解析:当x足够大时,跑在最前面的人具有的函数关系为指数型函数.
答案:D
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不同函数增长的差异PPT，第四部分内容：规范解答
选择恰当函数模型解决实际问题
典例 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%.现有三个奖励方案模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合该公司的要求?
分析:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时,奖金总数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%,由于公司总的利润目标为1 000万元,所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
于是,只需在区间[10,1 000],分别检验三个模型是否符合公司要求.
解:借助计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限内的大致图象(如图所示):
观察图象发现,在区间[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模型y=log2x+1进行奖励时才符合公司的要求,下面通过计算确认上述判断.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上递增,当x∈(20,1 000)时,y>5,因此该模型不符合要求;
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不同函数增长的差异PPT，第五部分内容：随堂演练
1.存在x0,当x>x0时,下列不等式恒成立的是( )
A.2x<log2x<x2 B.x2<log2x<2x
C.log2x<2x<x2 D.log2x<x2<2x
答案:D
2.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数 B.幂函数
C.指数型函数 D.对数型函数
解析:初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系.
答案:D
3.某人从甲地去乙地,一开始跑步前进,后来步行,图中横轴表示走的时间,纵轴表示此人与乙地的距离,则较符合该走法的图象是( )
解析:图中给出的是直线模型,符合一次函数模型的特点,结合题意,应选D.
答案:D
4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
关于x呈指数函数变化的变量是__________.
解析:从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.
从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象,可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2.
答案:y2
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